Часть дуги окружности как называется

Окружность

Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.

Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой O:

okruzhnost

Окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это круг:

okruzhnost4

Построение окружности циркулем

Для построения окружности используют специальный прибор — циркуль:

okruzhnost2

Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки. Другая его ножка, снабжённая карандашом или грифелем, прикасающимся к плоскости, начертит на плоскости замкнутую линию — окружность:

okruzhnost3

Радиус, хорда и диаметр

Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:

okruzhnost5

Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой R или r.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

okruzhnost6

Диаметр обозначается буквой D. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:

Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:

okruzhnost7

Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:

okruzhnost8

Для обозначения дуг используется символ duga:

О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.

okruzhnost9

Хорда AB стягивает дуги dugaAFB и dugaAJB.

Источник

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Podpiska

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Ris 1

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Источник

Окружность. Основные понятия.

Окружностью называется фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центра).

Часть, плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой.

Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.

D = 2R

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом.

Часть окружности называется дугой.

Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

Вписанный в окружность угол равен половине градусной меры дуги

и, соответственно, половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой.

Вписанные углы ACB, ADB, AEB равны, потому что опираются на одну дугу АВ.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

И обратно, если вписанный угол — прямой, то он опирается на диаметр.

Треугольники AOH и BOH равны.

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности. Их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Точка касания двух касающихся окружностей принадлежит прямой, которая проходит через центры этих окружностей.

Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.

Длина дуги и площадь сектора прямо пропорциональны градусной мере дуги и угла сектора.

Длина дуги так относится к длине окружности, как градусная мера дуги относится к градусной мере окружности.

Площадь сектора так относится к площади круга, как градусная мера угла сектора относится к градусной мере полного угла.

Чтобы найти площадь сегмента нужно соединить концы хорды с центром окружности и рассмотреть получившиеся сектор и треугольник.

Если сегмент меньше полукруга, то его площадь равна площади сектора минус площадь треугольника.

Если сегмент больше полукруга, то его площадь равна площади сектора плюс площадь треугольника.

Источник

Какие части окружности бывают и чем они различаются

В реальной жизни мы достаточно часто имеем дело с окружностью и ее элементами, хотя не всегда замечаем это. К примеру, зная диаметр колеса, как можно узнать расстояние, которое оно преодолевает за 1 оборот? Или как узнать, сколько места в саду займет пруд в форме круга, если вам известен его радиус?

«Бери и Делай» помогает разобраться, что представляет собой окружность, чем отличны и примечательны ее элементы.

Что такое окружность

Если взять множество точек и расположить их последовательно друг за другом, у вас получится линия. Если она не искривляется, не имеет ни начала, ни конца и бесконечно продолжается в обе стороны, то это прямая. Если линия изгибается из-за определенного расположения точек, то это кривая. Концы кривой линии, в свою очередь, могут не соединяться, образуя незамкнутую линию. Когда же они соединяются, получается замкнутая линия.

Нарисуйте замкнутую кривую линию так, чтобы все ее точки находились в одной плоскости и на равном расстоянии от заданной точки, которая располагается в той же плоскости, и вы получите отдельную геометрическую фигуру под названием окружность. Если взять только плоскость внутри окружности, то вы получите другую геометрическую фигуру под названием круг.

Чтобы построить окружность, используется циркуль — специальный инструмент, позволяющий чертить окружности и дуги.

Что представляют собой элементы окружности

Обозначим радиус буквой R, диаметр — буквой D, а длину окружности — буквой L. В определении диаметра выше говорится, что диаметр окружности всегда в 2 раза больше ее радиуса:

D = 2R

Если взять длину окружности и разделить ее на диаметр окружности, вы всегда получите одно и то же число — число пи (π). Оно неизменно, иррационально и имеет бесконечное количество цифр после запятой:

Таким образом, чтобы узнать длину окружности, достаточно умножить число π на ее диаметр или на 2 радиуса:

Источник

Окружность и круг

Сначала разберемся в отличии между кругом и окружностью. Чтобы увидеть эту разницу, достаточно рассмотреть, чем являются обе фигуры. Это бесчисленное количество точек плоскости, располагающиеся на равном расстоянии от единственной центральной точки. Но, если круг состоит и из внутреннего пространства, то окружности оно не принадлежит. Получается, что круг это и окружность, ограничивающая его (о-кру(г)жность), и бесчисленное число точек, что внутри окружности.

krugokruzhnost

Содержание

Общие определения

Окружность — это множество точек, которое располагается на одинаковом расстоянии от ее центра, представленного точкой.

Отрезок, который соединяет две точки окружности, является ее хордой.

okruzhnost s hordoj diametrom i radiusom

Длина окружности вычисляется по формуле: C=2\pi R

Площадь круга: S=\pi R^

horda razbivaet okruzhnost na dve dugi

Центральным углом называется такой угол, который находится между двух радиусов.

okruzhnost s centralnym uglom

Длину дуги можно найти по формуле:

Диаметр, что перпендикулярен хорде, делит хорду и стянутые ею дуги пополам.

diametr delit hordu i dugi okruzhnosti popolam

AN\cdot NB = CN \cdot ND

okruzhnost s dvumya hordami peresekayushchimisya v tochke

Касательная к окружности

Касательной к окружности принято называть прямую, у которой имеется одна общая точка с окружностью.

Если же у прямой есть две общие точки, ее называют секущей.

Если провести радиус в точку касания, он будет перпендикулярен касательной к окружности.

okruzhnost s sekushchej i kasatelnoj

Проведем две касательные из этой точки к нашей окружности. Получится, что отрезки касательных сравняются один с другим, а центр окружности расположится на биссектрисе угла с вершиной в этой точке.

kasatelnye k okruzhnosti s centrom na bissektrise ugla

Теперь к окружности из нашей точки проведем касательную и секущую. Получим, что квадрат длины отрезка касательной будет равен произведению всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

okruzhnost s kasatelnoj i sekushchej

Можно сделать вывод: произведение целого отрезка первой секущей на его внешнюю часть равняется произведению целого отрезка второй секущей на его внешнюю часть.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

okruzhnost s dvumya sekushchimi

Углы в окружности

Градусные меры центрального угла и дуги, на которую тот опирается, равны.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^

gradusnye mery centralnogo ugla i dugi okruzhnosti

Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны содержат хорды.

Вычислить его можно, узнав величину дуги, так как он равен половине этой дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

vpisannyj ugol okruzhnosti

Опирающийся на диаметр, вписанный угол, прямой.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^

opirayushchijsya na diametr vpisannyj ugol okruzhnosti

Вписанные углы, которые опираются на одну дугу, тождественны.

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

vpisannye ugly opirayushchiesya na odnu dugu okruzhnosti

Опирающиеся на одну хорду вписанные углы тождественны или их сумма равняется 180^ <\circ>.

\angle ADB + \angle AKB = 180^

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

vpisannye ugly opirayushchiesya na odnu hordu okruzhnosti

На одной окружности находятся вершины треугольников с тождественными углами и заданным основанием.

treugolniki na okruzhnosti s tozhdestvennymi uglami

Угол с вершиной внутри окружности и расположенный между двумя хордами тождественен половине суммы угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри данного и вертикального углов.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac<1> <2>\left ( \cup DmC + \cup AlB \right )

okruzhnost s obrazovannymi ot dvuh hord uglami i dugami

Угол с вершиной вне окружности и расположенный между двумя секущими тождественен половине разности угловых величин дуг окружности, которые заключаются внутри угла.

ugol vne okruzhnosti obrazovannyj dvumya sekushchimi

Вписанная окружность

Вписанная окружность — это окружность, касающаяся сторон многоугольника.

В точке, где пересекаются биссектрисы углов многоугольника, располагается ее центр.

okruzhnost vpisannaya v mnogougolnik

Окружность может быть вписанной не в каждый многоугольник.

Площадь многоугольника с вписанной окружностью находится по формуле:

p — полупериметр многоугольника,

r — радиус вписанной окружности.

Отсюда следует, что радиус вписанной окружности равен:

Суммы длин противоположных сторон будут тождественны, если окружность вписана в выпуклый четырехугольник. И наоборот: в выпуклый четырехугольник вписывается окружность, если в нем суммы длин противоположных сторон тождественны.

okruzhnost vpisannaya v vypuklyj chetyrehugolnik

В любой из треугольников возможно вписать окружность. Только одну единственную. В точке, где пересекаются биссектрисы внутренних углов фигуры, будет лежать центр этой вписанной окружности.

okruzhnost vpisannaya v treugolnik

Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

Описанная окружность

Если окружность проходит через каждую вершину многоугольника, то такую окружность принято называть описанной около многоугольника.

В точке пересечения серединных перпендикуляров сторон этой фигуры будет находиться центр описанной окружности.

Есть следующее условие: окружность возможно описать около четырехугольника только, если сумма его противоположных углов равна 180^ < \circ>.

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^

okruzhnost opisannaya okolo chetyrehugolnika

Около любого треугольника можно описать окружность, причем одну-единственную. Центр такой окружности будет расположен в точке, где пересекаются серединные перпендикуляры сторон треугольника.

okruzhnost opisannaya okolo treugolnika

Радиус описанной окружности можно вычислить по формулам:

S — площадь треугольника.

Теорема Птолемея

Под конец, рассмотрим теорему Птолемея.

Теорема Птолемея гласит, что произведение диагоналей тождественно сумме произведений противоположных сторон вписанного четырехугольника.

Источник

Adblock
detector
geom circle 1
geom circle 2
geom circle 8 Если две окружности имеют только одну общую точку, то они называются касающимися друг друга в этой точке.
geom circle 10
geom circle 11 Отношение длины любой окружности L к ее диаметру D = 2R есть величина постоянная.

L/2R = π

Число π ≈ 3,1415926535897932384626433832795. — иррациональное и в десятичном виде представляет собой бесконечную непериодическую дробь.

Круговым сектором называется часть круга, лежащая внутри соответствующего центрального угла.

Круговым сегментом называется часть круга, заключённая между дугой окружности и её хордой.

geom circle 13 Одна и та же хорда окружности может быть границей разных сегментов.
geom circle 14