Частота в статистике как считать

Относительная частота события
и статистическое определение вероятности

Сегодня мы завершаем изучение первого раздела теории вероятностей, который посвящён основным подходам к определению вероятности, теоремам сложения и умножения событий, а также их основным следствиям. В учебной литературе статистическое определение вероятности обычно рассматривается в первой же главе, но вот мне показалось удачным отложить этот вопрос на заключительный урок по теме. Давайте вспомним, с чего всё начиналось:

Вероятность наступления события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002в некотором испытании – есть отношение statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image004, где:

statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006– общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, которые образуют полную группу событий;

statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image008– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0000.

О некоторых недостатках классического определения вероятности заходила речь в статье Геометрическое определение вероятности, но это только верхушка айсберга, и сейчас данный вопрос получит интереснейшее продолжение. Начнём опять же с бесхитростных примеров 1-го урока по теории вероятностей:

statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image010– вероятность того, что в результате броска монеты выпадет «орёл»;
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image012– вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет 5 очков;
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image014– вероятность того, что из колоды будет извлечена трефа

Внимательный читатель заметил, что все комментарии о вероятностях сформулированы в будущем времени. И это не случайность – классическое определение, как правило, оценивает вероятность ДО проведения испытаний и даже без их фактического проведения. То есть, монета ещё не подброшена, а вероятность появления орла мы уже прекрасно знаем. Можно дать зарок никогда не брать в руки кубик либо колоду карт, однако, вероятности событий statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image016беспроблемно рассчитываются и без этого.

Примечание: однако, в отсутствии информации о результате испытания фразу «Вероятность того, что монета упала орлом» (например) всё же нельзя признать некорректной. То есть классическое определение может оценивать вероятность и после реального опыта.

Почему такое возможно? Такое возможно потому, что все элементарные исходы известны и подсчитаны заранее:

орёл и решка – итого 2 элементарных исхода;
1, 2, 3, 4, 5, 6 – 6 элементарных исходов;
6, 7, 8, 9, 10, В, Д, К, Т каждой масти – всего 36 карт.

Кроме того, для применения классического определения вероятности необходима равновозможность элементарных исходов (см. определение). Равновозможность выпадения граней монеты либо кубика обуславливается симметрией и несмещённым центром тяжести, колода же карт должна быть полной, некраплёной и хорошо перемешанной.

И всё было бы ладно, но в реальной жизни подобные модели встречаются нечасто. В большинстве ситуаций элементарные исходы перечислить затруднительно или невозможно, и ещё труднее обосновать их равновозможность. Простой пример:

Штирлиц пошёл в лес за грибами. Найти вероятность того, что он найдёт подберёзовик.

Кстати, каверзная задачка на счёт равновозможности была в конце урока о теоремах Лапласа. Краткая суть состоит в следующем: если в городе проживает примерно равное количество мужчин и женщин (которых подсчитать значительно проще =)), то это ещё не значит, что вероятность встретить на улице мужчину либо женщину равна 1/2.

Вновь обратим внимание на шаблонные формулировки стандартных задач:

«Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8»;
«Вероятность изготовления бракованной детали на данном станке составляет 0,05».

Возникает вопрос, откуда взялись эти значения? И ответ здесь один: данные вероятности могли получиться только на основе ранее проведённых опытов.

Относительная частота события и статистическая вероятность

Относительной частотой события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0001называют отношение числа испытаний statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image008 0000, в которых данное событие появилось, к общему числу statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006 0000фактически проведённых испытаний:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image023, или короче: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image025

Относительная частота наряду с вероятностью является одним из ключевых понятий тервера, но если классическое либо геометрическое определение вероятности не требуют проведения испытаний, то относительная частота рассчитывается исключительно ПОСЛЕ опытов на основе фактически полученных данных.

В том случае, если серии испытаний проводятся в неизменных условиях, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости, то есть колеблется около определённого значения.

Пусть некий профессиональный стрелок произвёл 100 выстрелов по мишени и попал 83 раза. Тогда относительная частота поражения цели составит: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image027.

Предположим, что тот же самый стрелок в точно такой же «форме» и в приблизительно таких же условиях снова провёл серию из 100 выстрелов. Вероятно ли, что он снова попадёт 83 раза? Не очень. Но количество попаданий вряд ли будет сильно отличаться от предыдущего результата. Пусть, например, стрелок попал 79 раз. Тогда относительная частота поражения цели составит: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image029.

В третьей серии из 100 выстрелов, проведённой при похожих обстоятельствах, данный стрелок попал 81 раз, statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image031и т.д.

Иногда могут случаться блестящие серии более 90 попаданий, иногда «провалы», но среднее количество попаданий будет варьироваться около 80. И когда количество фактически проведённых испытаний станет достаточно большим, то речь зайдёт о статистической вероятности. Если в одинаковых (примерно одинаковых) условиях проведено достаточно много испытаний, то за статистическую вероятность события принимают относительную частоту данного события либо близкое число.

Предположим, что на протяжении нескольких лет наш спортсмен, сохраняя стабильный уровень подготовки, совершил 10000 выстрелов и попал 8037 раз. Относительная частота поражения цели составит: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image033и за статистическую вероятность его результативности целесообразно принять statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image035, которая становится теоретической оценкой, например, перед грядущими соревнованиями.

Представьте, что во время лекции этот профессионал зашёл с винтовкой в аудиторию и прицелился. Теперь вам должен стать окончательно понятен смысл фразы «Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8» =) =)

Именно так собирается богатая спортивная статистика в различных видах спорта.

Аналогичная история с утверждением «Вероятность изготовления бракованной детали на данном станке равна 0,05». Эту оценку невозможно получить с помощью классического определения вероятности – она следует только из практики! Если на станке произведены десятки тысяч деталей и на каждую, скажем, тысячу выпущенных деталей, приходится в среднем 50 бракованных, то в качестве статистической вероятности брака принимается значения statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image037.

В Задаче 2 урока Локальная и интегральная теоремы Лапласа фигурировала вероятность рождения мальчика statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image039. Откуда взялось данное число? Из многолетнего подсчёта фактически рождённых детей в определённом регионе. В указанной статье мы выяснили, что это вовсе не значит, что среди 100 новорожденных будет ровно 52 мальчика. В следующей сотне рождённых их может оказаться, например, 45, и относительная частота statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image041будет далека от истины. Но если рассмотреть выборку в тысячи и десятки тысяч младенцев, то statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image043отклонится от statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image039 0000совсем-совсем незначительно. И это уже не случайность. Как известно, такое соотношение новорожденных сложилось эволюционно – по причине бОльшей смертности мужчин.

В учебном пособии В.Е. Гмурмана есть весьма удачный пример, в котором продемонстрировано, как при подбрасывании монеты относительная частота появления орла приближается к своей вероятности statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image045(полученной по классическому определению):
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image047
Какой можно сделать вывод? С увеличением количества независимых испытаний случайность превращается в закономерность. Однако следует помнить, что порядок выпадения орлов непредсказуем, о чём я подробно рассказывал на уроке Независимые испытания и формула Бернулли.

Вернёмся к европейской рулетке с 18 красными, 18 чёрными секторами и 1 зеро. В самом примитивном варианте игры: ставим на «красное» или «чёрное», и если шарик остановился на секторе другого цвета (вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image049) – ставка проигрывается. В случае успеха – удваиваемся (вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image051).

В отдельно взятом сеансе игры отдельно взятый человек может выиграть, причём выиграть по-крупному. Это случайность. Но, совершая миллионы оборотов, рулетка на протяжении веков приносит неизменную прибыль владельцам казино. И это – закономерность. Существует байка о том, что крупный выигрыш не отдадут, а если и отдадут, то «вы с ним не дойдёте до дома». Чистая «киношная» фантазия. Да, кому-то повезло, но сколько проиграется?! К тому же человек, посещающий подобные заведения, с большой вероятностью придёт снова и «сольёт» ещё больше. А чтобы он вернулся, казино, скорее наоборот – создаст максимальный комфорт и безопасность для «счастливчика».

Другой, во многом условный, пример: пусть в некой лотерее приняло участие statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image053билетов, из которых statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image055выиграли хоть какой-то приз. Таким образом, относительная частота выигрыша составила: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image057. Поскольку билетов продано очень много, то с большой вероятностью можно утверждать, что в будущем при сопоставимых объемах продаж доля выигравших билетов будет примерно такой же, и за статистическую вероятность выигрыша удобно принять значение statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image059.

Организатор лотереи знает, что из миллиона проданных билетов выиграют около 300 тысяч с небольшим отклонением. И это закономерность. Но всем участникам лотереи достаётся…. – правильно, случайность! То есть, если вы купите 10 билетов, то это ещё не значит, что выиграют 3 билета. Так, например, выигрыш только по одному билету – есть событие очень даже вероятное, по формуле Бернулли:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image063

А если учесть тот факт, что львиная доля выигрышей – сущая мелочь, то картина вырисовывается совсем унылая, ибо маловозможные события не происходят. Ситуацию спасают красочные телевизионные розыгрыши и различные психологические трюки.

Желающие могут самостоятельно исследовать вероятность выигрыша в различные лотереи – вся статистика есть в свободном доступе. Особо рекомендую подсчитать вероятность крупного выигрыша.

Практическая часть урока будет тесно связана с только что изложенным материалом:

Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности

Вероятность того, что в statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006 0001независимых испытаниях относительная частота statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image025 0000события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0002отклонится от вероятности statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image061 0000(появления данного события в каждом испытании) не более чем на statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image069, приблизительно равна:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image071, где statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image073функция Лапласа.

Собственно, эта формула и выведена из интегральной теоремы Лапласа.

Итак, расклад следующий: в распоряжении имеется вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image061 0001наступления события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0003, которая предварительно получена с помощью классического/геометрического определения или посредством серьёзной статистической оценки. Планируется провести statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006 0002независимых испытаний, в которых событие statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0004может наступить некоторое количество раз, причём значение statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image008 0001, разумеется, предсказать нельзя. Полученная относительная частота statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image025 0001может оказаться как больше, так и меньше вероятности statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image061 0002(поэтому нужен знак модуля).

Требуется найти вероятность того, что в серии из statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006 0003независимых испытаний, расхождение между относительной частотой и теоретической вероятностью statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image078, будет не больше, чем заранее заданное число, например, не больше, чем statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image080(один процент).

Начнём с самых маленьких :=)

В некотором регионе в результате многолетнего статистического исследования установлена вероятность рождения мальчика statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image039 0001. С какой вероятностью можно утверждать, что среди следующей тысячи новорожденных, относительная частота появления мальчика отклонится от соответствующей вероятности не более чем на 0,02?

Решение: используем формулу statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image071 0000

По условию: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image084

Таким образом:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image086– искомая вероятность.

Напоминаю, что значения функции Лапласа можно найти по соответствующей таблице или с помощью расчётного макета (пункт 5).

Ответ: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image088

Каков смысл полученного результата? Если рассмотреть достаточно много групп по 1000 новорожденных в каждой, то примерно в 79,6% этих групп доля мальчиков будет находиться в пределах:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image090

Или, умножая все три части на тысячу: от 500 до 540 мальчиков.

На самом деле рассмотренная задача эквивалентна следующей: «Найти вероятность того, что среди 1000 новорожденных будет от 500 до 540 мальчиков, если вероятность рождения мальчика равна 0,52». А эта задача как раз и решается через известную вам интегральную теорему Лапласа.

Посмотрим на правую часть формулы statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image071 0001и проанализируем, как при прочих равных условиях рассматриваемая вероятность зависит от размера выборки?

При росте «эн», дробь statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image093будет увеличиваться, а, как вы знаете, statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image095. То есть, вероятность отклонения statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image097рано или поздно приблизится к единице. И это неудивительно – как неоднократно показано в предыдущих примерах, при росте statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006 0004относительная частота события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image025 0002всё ближе и ближе стремится к вероятности statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image061 0003данного события, а значит, при достаточно большом количестве испытаний разница statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image078 0000практически достоверно будет не больше наперёд заданного числа statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image069 0000.

Наоборот – при уменьшении «эн» дробь statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image093 0000тоже будет уменьшаться, следовательно, значение statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image104будет приближаться к нулю statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image106. Нетрудно понять, что при слишком малой выборке теорема Лапласа работать перестанет. И действительно – ведь все statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image108детей в семье могут вообще оказаться девочками. Такое бывает.

Пара задач для самостоятельного решения:

Производится некоторый опыт, в котором случайное событие statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0005может появиться с вероятностью 0,6. Опыт повторяют в неизменных условиях statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image111раз. Определить вероятность того, что в 800 независимых испытаниях относительная частота появления события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0006отклонится от вероятности не более чем: а) на 0,05, б) на 0,03

Условие сформулировано в общем виде, как оно чаще всего и бывает. Ещё раз повторим суть задания: проводится statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image114опытов, в результате чего событие statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0007наступит statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image008 0002раз – сколько именно, предугадать невозможно. Относительная частота составит statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image117. С другой стороны, известна вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image119события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0008, которая установлена ранее с помощью классического/геометрического определения или путём сбора солидной статистики. Требуется найти вероятность того, что относительная частота отклонится от вероятности, не более чем на statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image121: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image123В чём смысл? С найденной вероятностью statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image125можно утверждать, что относительная частота будет заключена в следующих пределах:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image127
Или в абсолютном количестве появлений события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0009:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image129

Надо сказать, что границы достаточно вольные и вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image131должна получиться большой. Если же наперёд заданная точность составит statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image133, то промежуток сократится: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image135, и, понятно, что вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image137данного события будет меньше.

Следующий пример для самых мудрых участников лотереи 🙂

Вероятность выигрыша в лотерею равна 0,3. Продано 600000 билетов. Найти вероятность того, что относительная частота выигрыша отклонится от вероятности выигрыша не более чем на statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image139.

Иными словами, требуется найти вероятность того, что относительная частота выигрыша будет находиться в пределах: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image141(то есть выиграют от statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image143до statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image145билетов).

Эта информация очень важнА для корректного распределения призового фонда. Но, повторюсь, пример достаточно условный, т.к. не учитывает правила и ограничения той или иной лотереи.

Краткое решение и ответы в конце урока.

На практике не менее популярна и обратная задача:

Как определить, сколько нужно провести испытаний statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image147
чтобы с заранее заданной вероятностью statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image131 0000обеспечить желаемую точность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image069 0001?

В предыдущем примере получена довольно высокая вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image131 0001того, что количество выигравших билетов окажется в достаточно узком интервале: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image151билетов statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image153относительно наивероятнейшего количества statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image155.

Но, конечно же, хочется, чтобы вероятность statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image131 0002была побольше:

Вероятность выигрыша в лотерею равна 0,3. Сколько билетов должно участвовать в розыгрыше, чтобы с вероятностью не меньшей чем statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image157, можно было ожидать, что относительная частота выигрыша отклонится от теоретической вероятности не более чем на statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image139 0000?

Решение: используем ту же формулу statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image160.

В нашем распоряжении находятся следующие величины:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image162

По условию, требуется найти такое количество билетов statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image006 0005, чтобы с вероятностью не меньшей чем statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image157 0000разница statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image078 0001составила не более чем statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image166. Ну, а коль скоро с вероятностью «не меньшей», то задачу следует разрулить через нестрогое неравенство:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image168

Подставляем известные значения:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image170

Делим обе части на два:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image172

По таблице значений функции statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image174 либо с помощью расчётного макета (пункт 5*) по известному значению функции statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image176 находим соответствующий аргумент: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image178. Таким образом:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image180

Возведём обе части в квадрат:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image182
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image184

И финальный штрих:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image186

Ответ: для того, чтобы с вероятностью не меньшей чем statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image157 0001, можно было ожидать, что statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image188, в розыгрыше должно участвовать не менее 1397844 билетов.

Но это ещё нужно столько продать =) Или же аппетит statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image157 0002придётся поубавить. Или пожертвовать точностью, то есть увеличить statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image069 0002.

Представим ответ в абсолютных значениях:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image191

То есть, в 99% аналогичных розыгрышей количество выигравших билетов будет заключено в пределах от statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image193до statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image195.

Кстати, выполним проверку, решив прямую задачу:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image197, что и требовалось проверить.

Заключительная миниатюра для самостоятельного решения:

Проводится некоторый опыт, в котором случайное событие statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0010может появиться с вероятностью 0,4. Определить, сколько опытов нужно провести, чтобы с вероятностью большей, чем 0,9 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0011от statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image199не более чем на 0,05

Не ленимся 😉 Ответ в таких задачах следует округлять до бОльшего натурального значения! Краткое решение и ответ внизу страницы.

Первый цикл уроков по теории вероятностей подошёл к концу и даже начал плавно переходить в математическую статистику, так, если в рассмотренной задаче значение statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image061 0003не известно, то это уже статистическая задача об оценке этой вероятности.

И я уже хотел поставить традиционное пожелание «Везения в главном», но вдруг задумался…. Имеет ли в нашей жизни значение случайность? Безусловно! Нет, я не преуменьшаю значение системной и упорной работы, после которой следуют закономерные результаты. Однако и везение играет немаловажную роль: встретить хороших друзей, встретить «своего» человека, найти деятельность по душе и т.д. – всё это нередко происходит благодаря случаю….

Жду вас снова и до скорых встреч!

Задача 2: Решение: используем формулу statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image071 0002.
В данной задаче: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image202

а) Если statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image204, то:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image206– вероятность, того, что при 800 испытаниях относительная частота появления события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0012отклонится от вероятности данного события не более чем на 0,05.

Это событие является практически достоверным.

б) Если statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image133 0000, то:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image209– вероятность, того, что при 800 испытаниях относительная частота появления события statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image002 0013отклонится от вероятности данного события не более чем на 0,03.

Ответ: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image211

Задача 3: Решение: используем формулу statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image071 0003.
В данной задаче: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image214
Таким образом:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image216– вероятность, того, что относительная частота выигрыша отклонится от теоретической вероятности не более чем на 0,001.
Ответ: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image218

Задача 5: Решение: используем формулу statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image220.
В данном случае: statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image222
Таким образом:
statisticheskoe opredelenie verojatnosti clip image224
Ответ: необходимо произвести не менее 259 опытов.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

mark Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Adblock
detector