Как приводить одночлен к стандартному виду
Приведение одночлена к стандартному виду, примеры, решения.
Изучая начальные сведения об одночленах, мы отметили, что любой одночлен можно привести к стандартному виду. В этой статье мы разберемся, что называют приведением одночлена к стандартному виду, какие действия позволяют осуществить этот процесс, и рассмотрим решения примеров с подробными пояснениями.
Навигация по странице.
Что значит привести одночлен к стандартному виду?
С одночленами удобно работать, когда они записаны в стандартном виде. Однако достаточно часто одночлены задаются в виде, отличном от стандартного. В этих случаях всегда можно перейти от исходного одночлена к одночлену стандартного вида, выполнив тождественные преобразования. Процесс проведения таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.
Обобщим приведенные рассуждения. Привести одночлен к стандартному виду – это значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.
Как привести одночлен к стандартному виду?
Пришло время разобраться с тем, как приводить одночлены к стандартному виду.
Как известно из определения, одночлены нестандартного вида представляют собой произведения чисел, переменных и их степеней, причем, возможно, повторяющихся. А одночлен стандартного вида может содержать в своей записи только одно число и неповторяющиеся переменные или их степени. Теперь осталось понять, как произведения первого вида привести к виду вторых?
Для этого нужно воспользоваться следующим правилом приведения одночлена к стандартному виду, состоящим из двух шагов:
В результате применения озвученного правила любой одночлен будет приведен к стандартному виду.
Примеры, решения
Осталось научиться применять правило из предыдущего пункта при решении примеров.
Одночлены
Часто при решении задач мы используем буквенные множители и числа вместе.
Из чего состоит одночлен
Числовой множитель, который есть в одночлене, принято называть коэффициентом одночлена. Буквенные множители иногда называют переменными.
Примеры одночленов и их коэффициентов
| Одночлен | Коэффициент одночлена | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| −8a 2 | −8 | ||||
| xy 2 z | 1 | ||||
ab 2 |
| ||||
| −tz 2 | −1 | ||||
| 144x 2 | 144 |
Приведение одночлена к стандартному виду
Одночлен, у которого единственный числовой множитель стоит на первом месте и буквенные множители в различных степенях не повторяются, называется одночленом стандартного вида. Буквенные множители следует располагать в алфавитном порядке.
Примеры одночленов нестандартного вида : 2acа, 4xy 2 · 3, x 4 y · (−7).
Не забывайте, что одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей, поэтому внутри одночлена действуют все законы умножения, в том числе переместительный закон умножения.
Чтобы привести одночлен к стандартному виду нужно сделать следующее.
Что такое степень одночлена
Степень одночлена — это сумма всех степеней буквенных множителей.
Примеры степеней одночленов
Число «0» (ноль) называется нулевым одночленом. Степень нулевого одночлена не определена.
Но не путайте с одночленом нулевой степени! Одночлен нулевой степени — это любое число (например, 123; 0,5; −324 ).
Любое число можно записать как произведение числа на буквенный множитель в нулевой степени. Т.е. 123 = 123 · a 0 = 123 · 1 = 123 (одночлен нулевой степени).
Одночлен нулевой степени получил свое название, потому что любой буквенный множитель можно представить как 1 через нулевую степень.
Одночлен и его стандартный вид
теория по математике 📈 алгебраические выражения
Одночлен – это простейшее алгебраическое выражение, которое состоит из произведения чисел, переменных и их степеней. Никаких других действий одночлен не имеет. Числовой множитель у одночлена называется коэффициентом.
Пример №1. Рассмотрим примеры одночленов.
Стандартный вид одночлена
Чтобы определить коэффициент у одночлена, он должен быть представлен в стандартном виде.
Что такое одночлен стандартного вида?
Одночлен стандартного вида – это одночлен, у которого на первом месте стоит коэффициент, а далее – буквенные множители (переменные).
Такие одночлены приведены в примере №1. Рассмотрим, как привести одночлен к стандартному виду.
Здесь выполняем умножение чисел 3 и (-2), затем степеней х и у (при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываем, а основание оставляем тем же); записываем на первом месте число (коэффициент одночлена), а затем уже степени. Получаем одночлен стандартного вида.
-12a 3 b 2 (-4b 7 )=48a 3 b 9
Данный ответ получен после умножения чисел и степеней с одинаковым основанием. Записан на первом месте коэффициент 48, а затем остальные множители.
Степень одночлена
Сумму показателей степени переменных называют степенью одночлена.
Рассмотрим, как найти степень одночлена.
– 113с 3 х 6
У переменных показатели степени равны 3 и 6, складываем их и получаем 9. Значит, степень одночлена равна 9. Пример №5.
18ху
У этого одночлена степень равна 2, так как у переменных х и у первая степень, складывая 1 и 1, получаем 2.
Определение одночлена: сопутствующие понятия, примеры
Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.
Что такое одночлен
В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:
К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них.
Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему
Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.
Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.
Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4 · a · a 2 · a 3 (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5 · x · ( − 1 ) · 3 · y 2 (тут нужно объединить слева числовые множители).
Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.
Понятие степени одночлена
Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.
Сам нуль принято считать одночленом с неопределенной степенью.
Приведем примеры степеней одночлена.
Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень.
Понятие коэффициента одночлена
Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.
Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.
Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.
Одночлены
Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой число, переменную, их степени с натуральным показателем, а также любые произведения, составленные из них.
Выражения x + 2 или 
не являются одночленами, так как представляют сумму или частное переменных и числа.
Число 0 называют нулевым одночленом.
Буквы и числа одночлена, представляющего собой произведение, называют множителями данного одночлена. При этом числа называют числовыми множителями одночлена, а буквы — буквенными множителями одночлена.
Пример. Назовите числовые и буквенные множители одночлена 5abc.
Множителями данного одночлена являются число 5 и буквы a, b, c:
Числовой множитель: 5.
Стандартный вид одночлена
Стандартный вид одночлена — это запись одночлена, представляющая собой число, степень переменной или произведение, в котором только один числовой множитель, записанный на первом месте, а каждая его буква участвует в его записи лишь один раз, при этом буквы записаны в алфавитном порядке.
А вот следующие одночлены записаны не в стандартном виде:
так как первый содержит одинаковые буквы, а во втором два числовых множителя и буквенные множители записаны не в алфавитном порядке.
Стандартный вид нулевого одночлена есть 0.
Коэффициент одночлена
Коэффициент одночлена — это числовой множитель в одночлене стандартного вида, который содержит хотя бы одну переменную. Понятие коэффициент также относят к одночленам стандартного вида, представляющим собой числа без буквенных множителей. Коэффициентами таких одночленов считаются сами числа.
Целый положительный коэффициент означает, сколько раз повторяется слагаемым буквенное выражение, перед которым он стоит.
Дробный положительный коэффициент означает, какая часть берётся от буквенного выражения, к которому он относится.
Пример. В одночлене 
коэффициент означает, что от x 2 берётся 
, потому что 
, а умножить на значит взять от множимого.
Отрицательный коэффициент означает, что буквенное выражение, перед которым он стоит, умножается на абсолютную величину этого коэффициента и результат берётся с противоположным знаком.
Приведение одночлена к стандартному виду
С одночленами удобнее работать, когда они записаны в стандартном виде. Любой одночлен можно привести к стандартному виду путём тождественных преобразований. Процесс таких преобразований называют приведением одночлена к стандартному виду.
Привести одночлен к стандартному виду — значит выполнить с ним такие тождественные преобразования, чтобы он принял стандартный вид.
Чтобы привести одночлен к стандартному виду надо:
Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, сгруппируем по отдельности числовые и одинаковые буквенные множители. В результате исходный одночлен примет вид:
Записываем на первом месте числовой множитель, а после него располагаем буквенные множители в алфавитном порядке. В итоге получаем одночлен стандартного вида:
Среди своих множителей, данный одночлен имеет множитель 0, значит всё произведение в результате будет равно 0. Стандартный вид нулевого одночлена есть 0:
