Цепной темп роста вычисляется как
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ОНЛАЙН
Как рассчитать темп роста и прироста?
Теперь рассмотрим расчет темпа роста и темпа прироста более подробно.
Расчет темпа роста и прироста
На рисунке представлен пример расчета темпа роста и прироста:
Для наглядности на рисунке ниже приведен этот же пример, только с открытыми формулами:
На рисунке видно, что определение темпа роста осуществляется путем деления Показателя 2 на Показатель 1 и умножения на 100%. При этом темп прироста равен: деление показателя 2 на показатель 1 умножение на 100% и минус 100%, то есть темп прироста равен темп роста минус 100%.
Расчет средних темпов роста и прироста
Расчет базисного темпа роста и базисного темпа прироста
На рисунке ниже представлен расчет базисного темпа роста и прироста (таблицы 2 и 3):
Расчет базисного темпа роста заключается в том, что необходимо произвести расчет темпов роста всех показателей. Обратите внимание, что тем роста (прироста) первого показателя рассчитать нельзя.
В примере за базисный показатель принят Показатель 1, поэтому базисный темп роста или базисный темп прироста рассчитывается исходя из этого положения, то есть при расчете базисного темпа роста Показатель 2 делим на Показатель 1 и умножаем на 100, далее Показатель 3 делим на Показатель 1 и умножаем на 100, далее Показатель 3 делим на Показатель 1 и умножаем на 100, при расчете базисного темпа прироста из каждого показателя базисного темпа роста вычитаем 100.
Расчет цепного темпа роста и цепного темпа прироста
На рисунке выше представлен расчет базисного темпа роста и прироста (таблицы 4 и 5).
Расчет цепного темпа роста заключается в том, что необходимо произвести расчет темпов роста всех показателей. Обратите внимание, что тем роста (прироста) первого показателя рассчитать нельзя. В отличие от базисного темпа роста или прироста, цепной темп роста или прироста рассчитывается из текущего и предыдущего показателя.
То есть цепной темп роста или цепной темп прироста рассчитывается следующим образом: Показатель 2 делим на Показатель 1 и умножаем на 100, далее Показатель 3 делим на Показатель 2 и умножаем на 100, далее Показатель 4 делим на Показатель 3 и умножаем на 100, при расчете цепного темпа прироста из каждого показателя цепного темпа роста вычитаем 100.
Для того, чтобы закрепить полученную информацию, обратите внимание на рисунок ниже, в котором отражены формулы расчета: базисный темп роста, базисный темп прироста, цепной темп роста, цепной темп прироста:
Обратите внимание, что при расчете базисного и цепного показателей, значения базисного и цепного темпов роста и прироста равны, так как при избрании в качестве базисного показателя первого из ряда, они рассчитываются одинаково.
Как рассчитать темп роста в процентах
tempy_rosta.jpg
Похожие публикации
Важнейшим показателем эффективности производства в анализе финансовой ситуации в компании является показатель темпа роста. Поговорим об особенностях его расчета.
Как рассчитать темп роста: формула
Этот термин показывает изменение значения любого экономического или статистического показателя в текущем периоде к его начальному значению (являющемуся базовым) за определенный временной промежуток. Измеряется он в процентах или коэффициентах.
Например, при сравнении объема выпуска товаров на конец года (допустим, в значении 100000 руб.) к показателю объема на начало года (70000 руб.) темп роста находят отношением конечного значения к начальному: 100000 / 70000 = 1,428. Индекс роста в примере составил 1,429. Это означает, что на конец года объем выпуска составил 142,9%.
ТР = Пт / Пб х 100%,
где Пк и Пб – показатели значений текущего и базового периодов.
Темп роста показывает интенсивность изменений какого-либо процесса по отношению к его начальному (базовому) значению. Результат вычислений – один из трех вариантов:
ТР больше 100%, следовательно, конечное значение возросло в сравнении с начальным, т.е. налицо рост показателя;
ТР = 100%, т.е. изменений ни в большую, ни в меньшую сторону не произошло – показатель остался на прежнем уровне;
ТР меньше 100%, значит, анализируемый показатель снизился к началу периода.
Приведем примеры, как рассчитать темп роста в процентах по каждому варианту расчета, объединив исходные данные в таблицу:
Объем выпуска в тыс. руб.
Такой темп роста называют базисным, поскольку база сравнения по периодам остается неизменной – показатель на начало периода. Если же сравнительная база изменяется, а темп роста вычисляют отношением текущего значения к предыдущему (а не базисному), то этот показатель будет цепным.
Как рассчитать цепные темпы роста
Рассмотрим пример расчета базисного и цепного темпов роста:
Период
Объем в тыс.руб.
Темп роста в %
базисный
цепной
Цепные темпы роста характеризуют насыщенность изменения уровней от квартала к кварталу, базисные же отражают ее в целом за весь временной интервал (показатель 1 квартала – база сравнения).
Сравнивая показатели в приведенном примере, можно отметить, что ряд значений, рассчитанных к началу периода, имеет меньшую амплитуду колебаний, чем цепные показатели, вычисления которых привязаны не к началу года, а к каждому предшествующему кварталу.
Как рассчитать темпы прироста
Кроме расчета темпов роста, принято высчитывать и темпы прироста. Эти значения также бывают базисными и цепными. Базисный прирост определяют как отношение разности показателей текущего и базового периодов к значению базового периода по формуле:
Цепной прирост рассчитывают как разность между текущим и предыдущим показателями, деленную на темп роста предыдущего периода:
Более простым способом расчета является формула: ∆ ТР = ТР – 100%, где расчетные показатели темпа роста уменьшаются на 100%, т. е. исходную величину. Показатель темпа прироста в отличие от значений темпа роста может иметь отрицательное значение, поскольку темп роста (или снижения) показывает динамику изменений показателя, а темп прироста говорит о том, какой характер они носят.
Продолжая пример, рассчитаем приросты объемов в рассматриваемых периодах:
Показатели рядов динамики: их вычисление и прогнозирование
Различные экономические и другие показатели, которые даны за определённый период времени или по состоянию на некоторый момент, широко используются в практической статистике. Информация, основанная на этих показателях, называется рядами динамики. Абсолютные значения исследуемого явления в ряде динамики по состоянию на соответствующий период времени или момент называются уровнями ряда динамики. На их основе вычисляются важнейшие показатели рядов динамики и в математическом плане нужно лишь складывать, вычитать, делить, умножать и извлекать корень, а также помнить, что нельзя менять хронологическую последовательность уровней ряда динамики. А ещё на основе уже зафиксированных уровней ряда динамики можно прогнозировать значения уровней для будущих периодов и здесь уже начинается «взрослая» математика.
Цепные и базисные показатели рядов динамики и их вычисление
Главными показателями, характеризующими абсолютные и относительные изменения рядов динамики являются: абсолютный прирост (снижение), темп роста, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста (снижения).
Показатели рядов динамики по характеру их вычисления делятся на цепные и базисные.
Базисные показатели вычисляют, сравнивая каждый уровень ряда динамики с одним и тем же уровнем, принятым за базис. Обычно это первый (начальный) уровень ряда, хотя, если это продиктовано задачей анализа, за базисный уровень можно принять любой другой уровень. Если начальный уровень ряда динамики для изучаемого явления или процесса представляет нетипично высокий или нетипично низкий, то рассчитанные по сравнению с ним показатели рядов динамики могут оказаться мало полезными для задачи анализа.
Введём следующие обозначения:
Будем рассчитывать показатели для ряда динамики, данного в следующей таблице:
Таблица. Объёмы экспорта предприятия «Х», в миллионах руб.
Цепной абсолютный прирост (снижение) вычисляется путём вычитания из какого-либо уровня ряда динамики предыдущего уровня того же ряда.
Пример 1. Вычислим цепной абсолютный прирост:
Общий объём экспорта предприятия «Х» с 2013 по 2017 годы составляет Δ ц ( 2014 ) + Δ ц ( 2015 ) + Δ ц ( 2016 ) + Δ ц ( 2017 ) = 1631,8 млн. руб.
Базисный абсолютный прирост вычисляется путём вычитания из какого-либо уровня ряда динамики начального уровня ряда, который принимается за базис.
Пример 2. Вычислим базисный абсолютный прирост:
Между цепным и базисным абсолютным приростами существует математическая взаимосвязь: сумма цепных абсолютных приростов (снижений) равна базисному абсолютному приросту (снижению), соответствующему последнему уровню ряда динамики:
Показатель интенсивности изменения ряда динамики, в зависимости от того, выражен он в виде коэффициента или в процентах, называется коэффициентом роста или темпом роста.
Коэффициент роста показывает, во сколько раз соответствующий уровень ряда динамики больше базисного уровня (если коэффициент больше единицы) или какую часть базисного уровня представляет уровень отчётного периода (если он меньше единицы).
Темп роста характеризует скорость развития исследуемого явления.
Коэффициент роста × 100 = темп роста, %.
Если абсолютные уровни исследуемого явления снижаются, то темп роста меньше единицы (меньше 100 %), однако он никогда не может быть отрицательным числом. Существуют цепные и базисные темпы роста. Цепной темп роста вычисляется путём деления уровня ряда динамики на предыдущий уровень ряда:
Общий темп роста за весь период вычисляется путём умножения всех темпов роста:
Пример 3. Вычислим цепные темпы роста:
Общий темп роста за весь период:
Базисный темп роста вычисляют путём деления какого-либо уровня ряда динамики на начальный уровень, который считают базисным:
Пример 4. Вычислим базисные темпы роста:
Между цепным и базисным темпами роста существует математическая взаимосвязь: произведение цепных темпов роста равно базисному темпу роста для последнего уровня ряда динамики:
Таким образом, формулы для вычисления коэффициента прироста:
K пр ( ц ) = T р ( ц ) − 1
Формулы для вычисления темпа прироста:
T пр ( ц ) = T р ( ц ) − 100 %
В отличие от темпов роста, темпы прироста могут быть и отрицательными числами. В этом случае они показывают, на какую часть целого или на сколько процентов снизился уровень исследуемого явления.
Между цепным и базисным темпами прироста нет математической взаимосвязи.
Средние значения показателей рядов динамики
Средние значения показателей рядов динамики выражают уровни и типичные значения их изменений в определённый период времени. Прежде чем рассматривать средние значения показателей рядов динамики, разграничим понятия интервальных и моментных рядов динамики.
Интервальные ряды динамики характеризуют значения изучаемого явления за некоторый период времени, например, за месяц, за год, за пять лет. Моментные ряды динамики характеризуют значения изучаемого явления в какой-то определённый момент времени, например, на начало или конец месяца, начало или конец года и так далее. В предыдущем параграфе мы рассматривали интервальный ряд динамики и его показатели.
Средний уровень интервального ряда динамики вычисляется путём деления суммы уровней ряда на число уровней:
Пример 5. Вычислить среднегодовой объём экспорта предприятия «Х».
Решение. Вычислим средний уровень по формуле для интервального ряда динамики:
Пример 6. Вычислить среднее число сотрудников предприятия «Х» на начало года. В таблице ниже даны значения числа сотрудников на начало каждого года с 2013 по 2017 годы.
| Момент | Число |
| 1 янв. 2013 | 1113 |
| 1 янв. 2014 | 1122 |
| 1 янв. 2015 | 1110 |
| 1 янв. 2016 | 1130 |
| 1 янв. 2017 | 1222 |
Решение. Вычисляем по формуле хронологической средней:
Средний абсолютный прирост (снижение) выражает абсолютную величину, на которую в среднем в каждую единицу времени в соответствующий период выросли или снизились показатели исследуемого явления. Его вычисляют путём деления суммы цепных абсолютных приростов на число абсолютных приростов:
где 
— число абсолютных приростов.
Если нет данных о цепных абсолютных приростах, но известны начальный и конечный уровни ряда динамики, то средний абсолютный прирост можно вычислить через базовый абсолютный прирост по формуле
Пример 7. Используя данные об экспорте предприятия «Х», вычислить среднегодовой прирост экспорта.
Решение. Вычислим интересующий нас показатель через сумму цепных абсолютных приростов:
Вычислим его же через базовый абсолютный прирост:
Как видим, получили один и тот же результат.
Средний темп роста является показателем изменения интенсивности изменения уровней ряда динамики. Он характеризует среднюю интенсивность развития исследуемого явления, показывая, во сколько раз в среднем в единицу времени изменились уровни ряда динамики. Средний темп роста можно выразить в коэффициентах или процентах.
Цепной средний темп роста вычисляется по формуле среднего геометрического:
Если нет информации о каждом цепном темпе роста, средний темп роста можно вычислить по формуле с использованием последнего и первого уровней ряда динамики
Пример 8. Вычислить средний темп роста экспорта предприятия «Х».
Решение. Вычисляем по формуле среднего геометрического:
Вычисляем по формуле с использованием последнего и первого уровней ряда динамики:
Получили один и тот же результат.
Средний темп прироста показывает, на сколько процентов в среднем увеличился (если он со знаком «плюс») или уменьшился (если со знаком «минус») уровень исследуемого явления в течение всего рассматриваемого периода. Средний темп прироста вычисляется путём вычитания из среднего темпа роста 100% (если он выражен в процентах) или единицы (если он выражен в виде коэффициента).
Прогнозирование уровней рядов динамики
Модели на основе средних значений могут быть использованы, когда значение уровня ряда динамики колеблется вокруг среднего значения и в ряде нет какой-либо ярко выраженной тенденции (тренда).
Метод скользящей средней
В прогнозировании значение скользящей средней (обозначим её M t ) вычисляется по формуле
Пример 9. Рассмотрим пример с данными об объёмах продаж холодильников предприятия «Х» по месяцам.
При рассмотрении графика объёма продаж видно, что изменения объёма не подвержены какой-либо долгосрочной тенденции или тренду, объёмы продаж колеблются вокруг среднего значения.
Поэтому при расчёте прогноза можно использовать среднее значение. Вычислим значения скользящей средней по приведённой выше формуле:
Результаты даны в третьем столбце таблицы (для первых двух месяцев по этой формуле скользящие средние вычислить невозможно).
| Месяцы t | Объёмы продажи холодильников y t | Скользящая средняя M t |
| 1 | 113 | — |
| 2 | 117 | — |
| 3 | 112 | 114 |
| 4 | 113 | 114 |
| 5 | 108 | 111 |
| 6 | 112 | 111 |
| 7 | 116 | 112 |
| 8 | 120 | 116 |
| 9 | 121 | 119 |
| 10 | 113 | 118 |
| 11 | 111 | 115 |
| 12 | 118 | 114 |
| Прогноз F t | Погрешность прогноза ε t |
| — | — |
| — | — |
| — | — |
| 114 | -1 |
| 114 | -6 |
| 111 | 1 |
| 111 | 5 |
| 112 | 8 |
| 116 | 5 |
| 119 | -6 |
| 118 | -7 |
| 115 | 3 |
Наиболее вероятные прогнозы на каждый месяц по соответствующей формуле даны в четвёртом столбце таблицы. Прогноз на первый месяц следующего года F 13 = 114 можно сделать по данным трёх последних месяцев.
Погрешность прогноза для каждого момента времени вычисляется по формуле
Среднюю погрешность прогноза на основе скользящей средней обычно вычисляется как среднее абсолютное отклонение, которое обозначается MAD (Mean Absolute Deviation):
При оценке прогноза можно использовать также среднюю квадратическую погрешность и среднюю абсолютную процентную ошибку.
Средняя квадратическая погрешность MSE (Mean Squared Error) вычисляется по формуле
Средняя абсолютная процентная ошибка MAPE (Mean Absolute Percenting Error) вычисляется по формуле
Пример 10. В нашем случае, когда N=3, MAD=4,67. Для значений N от 2 до 6 значения MAD следующие:
| N | MAD |
| 2 | 4,50 |
| 3 | 4,67 |
| 4 | 4,78 |
| 5 | 4,11 |
| 6 | 4,42 |
На основе этих значений погрешности можем сделать вывод, что при использовании интервала сглаживания длиной в пять периодов можно получить наилучший прогноз с точки зрения минимального среднего абсолютного отклонения. С использованием такого интервала сглаживания получаем прогноз: наиболее вероятно, что в первый месяц следующего года будут проданы 116 холодильников:
При использовании формулы значения скользящей средней каждому уровню ряда динамики в границах периода сглаживания присваивается один и тот же вес. Так, если N=3, то вес соответствует 1/3, поэтому формулу в этом случае можно записать так:
Модели прогнозирования на основе скользящей средней и скользящей средневзвешенной имеют существенный недостаток: для вычисления пронозируемого значения используются только последние N уровней ряда динамики и только для вычисления погрешности используются предыдущие n − N уровней. Поэтому для прогнозирования средних значений рядов динамики используются и другие методы.
Метод экспоненциальной средней (экспоненциального сглаживания)
Основная формула значения экспоненциальной средней:
Таким образом, прогноз для каждого следующего периода строится на среднем взвешенном значении предыдущего уровня ряда динамики и значении предыдущего прогноза. Например, для прогноза значения четвёртого уровня ряда динамики формула будет следующей:
для прогноза третьего уровня
для прогноза второго уровня
В общем случае прогноз на каждый следующий период является средней взвешенной величиной от всех предыдущих уровней ряда динамики.
Вернёмся к уравнениям прогноза значений третьего и четвёртого уровней ряда динамики. Подставляя каждое следующее уравнение в предыдущее, получаем
Таким образом, в общем случае прогнозируемое значение вычисляется с использованием всех уровней ряда динамики путём их умножения на соответствующие коэффициенты (весы): 
или 
.
В зависимости от величины параметра экспоненциального сглаживания α различным уровням ряда динамики можно присвоить различные весы. Например, если о прогнозируемом показателе известно, что на его будущие значения больше влияют более близкие из предыдущих уровней ряда, то параметр α должен быть больше, чем в случае, когда бОльшее влияние оказывают более ранние значения ряда динамики. А если бОльшее влияние оказывают более ранние значения, то параметр α должен быть меньше.
Пример 11. Сделаем прогноз методом экспоненциального сглаживания для ряда динамики, содержащего данные об объёмах продажи холодильников предприятия «Х» из предыдущих примеров.
F 2 = 0,2⋅113 + (1 − 0,2)⋅113,0 = 113,0
F 3 = 0,2⋅117 + (1 − 0,2)⋅113,0 = 113,8
F 4 = 0,2⋅112 + (1 − 0,2)⋅113,8 = 113,44
Прогноз на первый месяц следующего года:
| Месяцы t | Объёмы продажи холодильников y t |
| 1 | 113 |
| 2 | 117 |
| 3 | 112 |
| 4 | 113 |
| 5 | 108 |
| 6 | 112 |
| 7 | 116 |
| 8 | 120 |
| 9 | 121 |
| 10 | 113 |
| 11 | 111 |
| 12 | 118 |
| Прогноз ( α = 0,2 ) F t | Погрешность прогноза ε t |
| 113,0 | 0 |
| 113,0 | 4 |
| 113,8 | -1,8 |
| 113,44 | -0,44 |
| 114,35 | -6,35 |
| 112,28 | -0,28 |
| 112,23 | 3,77 |
| 112,98 | 7,02 |
| 114,38 | 6,62 |
| 115,71 | -2,71 |
| 115,17 | -4,17 |
| 114,33 | 3,67 |
| α | MSE |
| 0,01 | 4,01 |
| 0,02 | 4,00 |
| 0,05 | 3,97 |
| 0,10 | 3,97 |
| 0,15 | 3,98 |
| 0,20 | 4,02 |
| 0,25 | 4,05 |
| 0,30 | 4,08 |
| 0,35 | 4,13 |
| 0,40 | 4,16 |
| 0,45 | 4,20 |
| 0,50 | 4,23 |
Видим, что наименьшая погрешность прогноза для данного ряда динамики при использовании метода экспоненциального выравнивания соответствует значениям α от 0,05 до 0,15. Примем за оптимальное значение в середине между этими двумя, то есть 0,1. Тогда получим следующий прогноз объёма продаж: 114,3.
Формулу экспоненциальной средней можно преобразовать, чтобы в прогнозе учитывалась погрешность прогноза для предыдущего периода:
Как показывает последнее выражение, прогноз по методу экспоненциальной средней образуется из прогноза с экспоненциальным средним значением прошлого периода с прибавлением погрешности ошибки, умноженной на параметр сглаживания α. Если погрешность больше нуля, это означает, что предыдущий прогноз был меньше фактического значения и следующий прогноз будет соответственно увеличен. Если погрешность меньше нуля, то прогноз был меньше фактического значения и прогноз на следующий период будет соответственно уменьшен.
Доверительный интервал для прогнозов на основе средних значений
